Gradient-prolongation commutativity and graph theory

This note gives conditions that must be imposed to algebraic multilevel discretizations involving at the same time nodal and edge elements so that a gradient-prolongation commutativity condition will be satisfied; this condition is very important, since it characterizes the gradients of coarse nodal functions in the coarse edge function space. They will be expressed using graph theory and they provide techniques to compute approximation bases at each level. To cite this article: A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Résumé Commutativité entre gradient et prolongement et théorie des graphes Cette note donne des conditions qui doivent être imposées aux discrétisations multiniveau algébriques en éléments finis nodaux et d’arête de façon à assurer la commutativité entre gradient et prolongement ; cette relation importante caractérise les gradients des fonctions nodales grossières dans l’espace des fonctions d’arête grossières. Ces conditions seront exprimées en terme de graphes et elles permettent d’introduire des méthodes de calcul des bases d’approximation aux différents niveaux. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Version française abrégée L’approximation numérique du champ électrique ou magnétique utilise fréquemment les éléments finis d’arête dont la relation avec les éléments finis nodaux traduit des propriétés importantes au niveau discret [1]. Dans ce qui suit, nous considèrerons les éléments de plus bas degré : P1 en nodal et ordre 1 incomplet pour les arêtes. Dès qu’on traite des problèmes de grande taille, une stratégie multiniveau est Email addresses: [email protected] (Francois Musy), [email protected] (Laurent Nicolas), [email protected] (Ronan Perrussel). Preprint submitted to Elsevier Science 2 février 2008 un choix intéressant. Pour les systèmes provenant de discrétisations par éléments finis d’arête, Hiptmair a introduit des méthodes multiniveau pour une hiérarchie de maillages embôıtés [2]. Cependant, dans des applications réalistes, on ne dispose généralement pas de maillages structurés. La stratégie multiniveau algébrique va donc s’imposer : il s’agit de définir des fonctions grossières nodales et d’arête grâce aux contributions de paquets de fonctions fines nodales et d’arête ; les combinaisons linéaires (1a) et (1b) définissent respectivement ces fonctions grossières nodales et d’arête. Par construction les gradients des fonctions nodales fines appartiennent à l’espace des fonctions d’arête fines ce que traduit la relation (2). Dans cette relation, G est la matrice d’incidence arcs-sommets du graphe orienté naturellement associé au maillage de travail. Les orientations des arcs sont arbitraires. Pour adapter aux méthodes algébriques les lisseurs des méthodes géométriques, Reitzinger et Schöberl [3] ont introduit une représentation explicite des gradients des fonctions grossières nodales dans la base des fonctions grossières d’arête, donnée par la relation (3) où G est une matrice d’incidence arcs-sommets. En regroupant les relations (1) à (3), nous obtenons la relation matricielle (4). La matrice α est construite par exemple par les méthodes définies dans [4] qui permettent d’obtenir les fonctions grossières nodales comme partition de l’unité et de contraindre leurs supports à être inclus dans des ensembles géométriques convenablement choisis. Connaissant G et α, nous souhaitons choisir G comme matrice d’incidence arcs-sommets d’un graphe orienté S . Nous donnons dans cette note une condition nécessaire et suffisante sur ce graphe, la proposition (2.3), qui assure l’existence d’une solution de (4). En effet, nous associerons, par un procédé décrit dans la partie en anglais, à chaque arête fine un sous-graphe du graphe grossier, qui doit être connexe. La connaissance de ces sous-graphes donne les degrés de liberté disponibles pour déterminer des fonctions d’arête grossières compatibles avec les fonctions nodales grossières ; en résolvant un problème de flot sur ces sous-graphes, voir (14), nous pouvons alors construire la matrice β (Section 4).